נדון בשאלה, שאני נוהג לשאול מועמדים לעבודה. השאלה עוסקת גם בפרדוקס דומה ל פרדוקס אכילס והצב של זנון.
הארנבת אומרת לצב: צב בוא אלי. הצב עונה לה: לא רוצה. בואי את אלי. אומרת הארנבת: אתה יודע מה, אני אבוא עד מחצית הדרך אליך ואז אתה תבוא מחצית הדרך אלי וכך נלך עד שניפגש. הצב מסכים והם מתחילים בפרוצדורה. השאלה שאני שואל היא: איפה הם יפגשו?
כמובן, שרוב המועמדים האומללים אומרים שהם אף פעם לא יפגשו. השלב השני של אימלול המועמד, אני אומר: אתה טועה. אבל עזוב לרגע את השאלה אם יפגשו, שהרי הם יפגשו. אבל איפה הם כמעט יפגשו?
נחסוך לכם את העינוי שבעיסוק בשאלה ששאלתי, שהרי זו לא מטרת הדיון. הרי ברור שבכל זוג צעדים, הארנבת הולכת פי שתיים מהצב. בצעד הראשון הארנבת הולכת 1/2 מהדרך והצב 1/4 מהדרך. בצעד השני הארנבת 1/8 והצב 1/16. יש יחס של 2 ל-1 ולכן הם יפגשו ב 2/3 הדרך.
נעבור לדיון בשאלה האם הם יפגשו.
בוא נניח שהמרחק ההתחלתי ביניהם הוא 1 ק"מ ומהירות ההליכה של הארנבת והצב היא 1 קמ"ש. בכל רגע נתון, רק אחד מהם הולך. מנקודת המבט הזו, ברור כשמש, ששניהם יפגשו אחרי בדיוק שעה אחת.
בואו ננסה להבחין, מה השגיאה שעשינו כשאמרנו: תמיד תישאר עוד מחצית מהמרחק ביניהם ולכן לעולם לא יפגשו. מתחוור לנו, שהיתה לנו שגיאה, שהרי הם יפגשו בדיוק לאחר שעה.
מה השגיאה? השגיאה היא שאנחנו עושים זום אינסופי על הזמן ועובדה זו גורמת לנו לשגיאה. אסור לעשות את זה על אינסוף איברים. ה"אינסוף" הזה, שטבעו לא ברור לנו הוא מה שהכשיל אותנו. בואו ננסה רגע להבין קצת את משמעות האינסוף הזה.
האינסוף הוא לא מספר, הוא מונח מתמטי פילוסופי. הוא לא מתנהג כמו מספר בכלל. למשל כמה זה אינסוף חלקי אינסוף? 1? לא נשמע הגיוני. למשל אם נחלק 2 כפול אינסוף באינסוף "רגיל", נשמע אולי, שהיינו אמורים לקבל 2. אבל זהו שלא. למה? כי אינסוף הוא לא מספר. הוא פשוט לא "מתנהג" כמו מספר.
כמה זמן בעצם לוקח לעשות את אינסוף הצעדים במקרה הארנבת והצב שלנו? בדיוק שעה אחת. כלומר הצלחנו לעשות אינסוף צעדים בשעה אחת. זה נכון, שעשינו אינסוף צעדים וזה נשמע, שזה בטח לקח משהו כמו אינסוף זמן. אבל זה לא נכון. זה לקח בדיוק שעה.
צירוף האינסוף צעדים וכמה זמן זה לקח גרם לנו בטעות לחשוב, שזה לוקח אינסוף זמן. הטעות קרתה כי בניתוח המונח אינסוף, עשינו זום "אינסופי" על הזמן, מה שאסור לעשות. התייחסנו לאינסוף כמספר ולא כמונח פילוסופי.
אני יכול להמשיך לדון בתופעות מעניינות של האינסוף, אבל זה מעבר למטרת הפוסט הזה.
אתן לכם עוד כמה דוגמאות מבלי להכנס לדיון מעמיק.
1. אומרים שקו ישר הוא מקרה פרטי של מעגל עם רדיוס אינסופי. אז בעצם "בצד אחד" של המעגל יש את האפס ובצד השני יש פלוס אינסוף ומינוס אינסוף, ששניהם זו בעצם אותה נקודה, שהיא אינסוף.
2. כמה זה למשל 0 לחלק ל- 0? אם נבחן מה קורה כשאנחנו מתקרבים במכנה לאפס, שבו אנחנו מחלקים, מהכיוון החיובי, כשבל פעם ניקח מספר יותר קטן נראה שאנחנו מתקרבים ל 1, אבל כשנתקרב מהכיוון השלילי, נקבל גם 1. חונכנו לחשוב שזה מקרה קלאסי של אי רציפות של הפונקציה. אז אולי בעצם 0 לחלק ל0 הם אחד אולי.
3. בעצם לאינסוף ולאפס יש הרבה תופעות דומות מדי ואכן טוענים בפילוסופיה של המתמטיקה, שגם האפס הוא לא מספר אלא מונח פילוסופי. הידעתם שהאפס הומצא רק במאה השנייה לפני הספירה? פיתגורס טען, שאפס ואחד הם בכלל לא מספרים. הם נראים לו חשודים מדי.
4. הרבה מתמטיקאים מסכימים עם פיתגורס, שגם אפס וגם אחד הם לא באמת מספרים. כמה מוזר זה, שכל המחשבים בעולמנו משתמשים רק באפס ואחד.
הצלחתם להנות מהדיון הזה? אני מקווה שכן.
אני מוצא את הפילוסופיה של המתמטיקה מרתקת ואתם?
