הגיגים ופילוסופיה בגרוש.

והפעם רשומה קצת שונה.

רבות דובר על גבולות, הפעם ברצוני להציע נקודת מבט שונה.

הפעם אבחר לנסות להגדיר את מונח הגבול בכלים מתמטיים, כלים הנוחים לי מאוד. אמנם זהו איננו שיעור בחדו"א אז במידה ישנם אי דיוקים, הסיבה לכך שבחרתי לא לדייק.

נתחיל בהגדרות:

על מנת לדבר על גבולות עלינו לדעת מהי פונקציה, בהפשטה, פונקציה הינה התאמה בין איבר(ערך) אחד או איברים(ערכים) בקבוצה אחת, לאיבר(ערך) יחיד בקבוצה שניה.

ניתן לדבר על שני סוגים של פונקציות.

האחת מתבדרת, כלומר, עבור כל ערך בערך מוחלט שנציב נקבל ערך גדול יותר בערכו המוחלט. כלומר הפונקציה שואפת אל עבר האין סוף ולא אל מספר יחיד.

לדוגמא: הפונקציה y=-x , עבור כל ערך של x גדול יותר מקודמו נקבל y קטן יותר. או במילים אחרות, עבור הפונקציה הזאת אין גבול. וככל שנרחיק על ציר ה x, הערך בציר y יקטן ואף יחצה על קו ה 0.

יתרה מכך, עבור x גדול מאוד נקבל y  קטן מאוד בערכו המחולט.

לעומת זאת, ניתן לדבר על פונקציה מתכנסת, כאשר נציב x מספרים גדולים, הערך של y יתקרב למספר מסוים, אך לעולם לא יגיע אליו.

לדוגמה הפונקציה y=1/x⁴  עבור x גדול מאוד תשאף אל המספר 0, אך לא משנה כמה גדול יהיה x הפונקציה תשאף אל 0 מצידו החיובי אך לעולם לא תיגע ב 0 ולעולם לא תחצה את הקו y=0

דוגמה לכך ניתן לראות בגרפים הבאים:

בגרף הראשון ניתן לראות את הפונקציה בקנה מידה רגיל:

בגרף הבא ניתן לראות כיצד באזור: 5<x<20 הגרף רק מתקרב ל 0 ואיננו עובר או נוגע.

לאחר הרקע המתמטי הקצר, נחזור אל בדסמ.

לרובנו המוחלט ישנם גבולות ברורים, דברים שאנחנו מוכנים לעשות/שיעשו לנו אך איננו מוכנים לעבור את גבולות אלו. כאשר חורגים מהגבולות נעבור מהנאה אל סבל אמיתי שאין בו הנאה. ממצב בו אנו מרגישים בטוחים למצב בו אנחנו כבר לא בטוחים. ואל מצב בו עלולה להתרחש פגיעה פיזית ונפשית.

אמנם, תגידו ואתם צודקים שעם הזמן אנו נוטים לחקור עוד את הקצוות, אולי לחרוג מעט מהגבול על מנת להגביר את ההנאה ולספק את יצר ההרפתקנות הטבוע בנו כבני אדם סקרנים. אך לבינתיים נסתפק בהגדרה המתמטית ולא נעבור אל הפסיכולוגיה של הנושא.

אז כפי שציינתי קודם הגבולות חשובים לנו על מנת להנות ולהרגיש בטוחים ומנוע פגיעות בנפש ובגוף.

המצב דומה מאוד לפונקציה מתכנסת, נשאף תמיד להגיע אל הגבול, נתקרב אליו מאוד. אל לא בטח שנגיע עד הגבול וניגע בו בדיוק. במצב כזה ישנה הסכנה שנעבור את הגבול והסשן יהפוך למתבדר וללא גבולות. והדבר יכול להיות לא נעים ואף מסוכן.

מהפסקה הקודמת ניתן להבין שאסור שהגבולות יהיו פונקציה מתבדרת, גבול מתבדר כמוהו כאין גבול וכל הנובע מכך.

אסכם ואומר.

שימו לב לגבולות וכבדו אותם.

היו מתכנסים ולא מתבדרים.

שימו לב אם אתם מגיעים אל הגבולות או רק שואפים אליהם.

כמובן שלא ניתן לסיים ללא שתי סטודנטיות חרוצות שהגיעו לתפוס מקום טוב בהרצאה.

תקופת המבחנים מתקרבת....